스프링 상수(Spring Constant)

해석 분야에서 핵심적인 역할을 하는 유한요소법(Finite Element Method, FEM)에 초점을 맞추어 스프링, 즉 강성에 대해서 알아보려고 합니다. 

유한요소법은 구조물이나 기계 시스템의 행동을 모사하고 예측하는 데 사용되는 강력한 수치 해석 도구로, 

그 중에서도 스프링은 다양한 분야에서 실제 시스템의 특성을 이해하는 데 도움이 되는 중요한 개념 중 하나입니다.

스프링이란 무엇인가요? 

우선, 스프링이란 무엇인지 간단히 살펴보겠습니다. 

스프링은 힘을 저장하고 변위에 따라 힘을 전달하는 기계적인 요소로, 많은 시스템에서 적용되고 있습니다. 

선형 스프링은 힘과 변위 간에 선형 관계가 있다는 특징을 갖고 있습니다. 이는 힘이 선형적으로 증가하거나 감소한다는 것을 의미합니다. 

다시말해, 변형과 하중 사이의 비례 상수를 스프링 상수, 스프링 강성 k라고 하며 단위 길이당 힘의 단위를 갖습니다.

탄성스프링은 축방향 하중만 지지하기 때문에 그림과 같이 스프링의 길이 방향을 기준으로 x축을 선택합니다.

     그림 1: 절점 변위 및 절점 힘에 대한 선형 스프링 요소

여기서,

f1, f2: 힘(Force)

k: 스프링상수(Spring constant)

u1,u2: 변위(Displacement)

스프링이 변형되지 않고 두 절점(Node)가 모두 0이라고 가정할 때, 순 스프링 변형은 다음과 같습니다. 

그리고 Resultant한 스프링의 축력은.

다시 풀어쓰면 다음과 같습니다.

그리고 적용된 절점에 대한 식은 다음과 같습니다.

이를 행렬 형태로 표현하면,

여기서,

단일 스프링 요소의 강성 매트릭스는 요소 좌표계 또는 로컬 좌표계에서 요소 강설 행렬로 정의 되며, 

{u}는 절점 변위의 열행렬(Vector), {f}는 요소 절점 힘의 열행렬(vector)입니다.

위의 방정식은 선형 스프링 요소에 대한 요소 강성 행렬이 2X2 행렬임을 보여줍니다.

요소가 두 개의 절점 변위(또는 자유도)를 나타내고 두 개의 변위가 독립적이지 않고 즉, 연속적이고 탄성을 지니고 있다는 사실을 알 수 있습니다.

또한 행렬은 평형을 이루기 위해 대칭이고 단일 행렬입니다.

지금까지 선형스프링이 힘과 변위 사이에서 어떻게 상호 작용하는지를 파악해 보았습니다.

이를 통해 우리는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 보다 더 잘 이해할 수 있을겁니다.

감사합니다.✨