조인트 마찰이 무엇이고 어떻게 동작할까요? - 제 2편

How does Joint Friction Work?

조인트 마찰은 물체 사이의 표준 마찰에 불과하지만 작용하는 알짜 마찰력을 결정할 때는 조인트 기하학의 측면을 고려합니다.

이를 설명하기 위해서 예시를 들어보겠습니다. 

구멍 안에 핀이 있고 살짝의 틈이 있는 것을 생각해 보세요. 

그림 1은 중앙에 위치한 힘 F 아래 구멍 안에서 놓여 있는 핀을 나타냅니다. 

이는 순 베어링 하중과 같습니다. 

핀을 앞뒤로 슬라이딩하는 데 필요한 힘은 수직 하중에만 작용됩니다. 

핀을 회전시키는 데 필요한 토크도 이 힘에 작용하지만 핀의 지름에도 작용됩니다(그림 2).

이제 핀에 추가적인 모멘트 M이 작용하는 경우를 고려해 보겠습니다. 

이 모멘트는 핀이 회전하게 만들어, 구멍의 바깥쪽 가장자리에서 지지되게 합니다 (w). 

모멘트는 힘의 짝(M/w)으로 반응합니다. 

베어링 하중(F)을 양쪽 끝으로 나누면, 각각의 국부적인 힘은 F/2 + M/w가 됩니다. 

마찰력은 누적되므로, 이 힘의 짝을 합산하여 마찰에 기반한 총 힘을 계산합니다 (F+2M/w).

이를 바탕으로 핀을 회전시키기 위해 필요한 토크를 계산하는 것은 간단합니다. 

그 계산은 µ* r(F+2M/w)로 나타낼 수 있습니다.

이러한 굽힘 모멘트의 영향은 관절 마찰에서 중요한 요소입니다. 

핀을 지지하는 구멍의 두께가 w측면에서 얇은 경우, 모멘트 성분은 2M에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다. 

반면에 핀을 지지하는 구멍이 매우 두꺼운 경우, 모멘트 성분은 0에 가까워집니다.

Example: Door mounted on two hinges

이 비유를 문이 두 개의 경첩에 걸려 있는 상황으로 확장해보면, 관절의 마찰력을 고려할 수 있습니다. 

문이 경첩에 의해 지지될 때, 각 경첩은 문의 무게와 사용 중에 발생하는 다양한 외력들을 분단하게 됩니다. 

만약 문에 추가적인 힘이나 모멘트가 작용한다면, 이는 경첩에서의 마찰력을 증가시키는 원인이 될 수 있습니다.

µ*r*(F+2M/w) 

Mass of door: 40 kg

Distance from hinge centers (h): 1680 mm

Center of mass of door from hinge line: 500 mm

Length of hinge (w): 120 mm

Hinge pin radius (r): 12 mm

Friction coefficient m: 0.1

문에 대한 힘과 모멘트를 경첩선에서 해석할 수 있습니다. 중력가속도는 10m/s^2이고, 문에 작용하는 힘은 F = 400N이라고 가정합니다.

경첩선에 대한 모멘트는 M = 400* 0.5 = 200N.m입니다.

단일 경첩 설계의 경우, 문을 회전시키기 위해 필요한 마찰 토크는 T_r = mr (F + 2M/w)로 계산할 수 있습니다. 

여기서 r은 경첩에서 문의 중심까지의 거리, w는 경첩의 효과적인 폭, 그리고 µ는 마찰 계수입니다.

Tr = 0.1 * 12E-3 (400 + 2*200/(120E-3)

Tr = 4.48 N.m

문 끝에서 작용하는 힘과 관련하여, 문을 회전시키기 위해 필요한 힘은 4.5N입니다(문의 질량은 0.5kg입니다).

이중 경첩 설계의 경우, 모멘트는 두 경첩에서 힘의 짝으로 반응됩니다.

이를 단일 경첩이 문 전체 길이에 걸쳐 있거나, 정확히는 경첩 중심 간의 거리에 해당하는 것으로 간소화할 수 있습니다. 

그리고 그에 따른 계산은 다음과 같이 진행됩니다.

같은 공식을 사용하지만, 이번에는 w= 1680 mm입니다.

Tr = 0.1 * 12E-3 (400 + 2*200/(1680E-3)

Tr = 0.77 N.m

문을 회전시키기 위해 필요한 힘은 훨씬 적은 0.8N임을 알 수 있습니다.

힘을 독립적인 경첩으로 분해하면 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

이를 증명하기 위해 다음 계산을 따라 해 보겠습니다.

모멘트는 문을 벽에 고정시키는 힘의 짝으로 반응됩니다. 

걸려 있는 하중(F)이 경첩 사이에 균등하게 분포된다고 가정합니다.

마찰은 항상 추가적인 요소이므로, 한 개의 경첩을 먼저 살펴보고, 두 번째 경첩을 고려하여 하중을 두 배로 증가시킬 수 있습니다. 

경첩에 작용하는 힘은 직접적인 베어링 하중으로 작용하지만, 방향은 서로 다릅니다.

수직 방향에서는 경첩 부품 간에 베어링이 발생하며, 마찰력은 µF/2입니다. 

수평 하중은 경첩 핀과 경첩 홀 사이에서 작용합니다. 

마찰력은 µM/h입니다. 

각 힘은 홀/핀의 바깥쪽 반지름(r)에서 작용합니다.

따라서 마찰로 인한 토크 구성요소는 다음과 같습니다.

Trh1 = r * µF/2 + r *µM/h 

두 번째 경첩을 고려하여 이 값을 두 배로 늘리면, 각 경첩에서의 마찰로 인한 토크 구성요소를 합산할 수 있습니다. 

첫 번째 경첩에서 계산된 토크에 해당하는 값을 두 배로 하여 전체 문에 대한 토크를 계산할 수 있습니다.

Tr = µrF + 2µrM/h 

값을 대입하면 다음과 같습니다:

Tr = 0.1 * 12e-3*400 + 2 *0.1 * 12e-3 * 200/1680e-3

Tr = 0.77 N.m

이 결과는 두 개의 경첩을 하나의 긴 경첩으로 표현했을 때와 동일합니다.

결론

조인트 마찰은 처음 접했을 때는 어려울 수 있지만, 기본적인 물리 법칙을 조인트의 기하학에 적용하는 것에 불과합니다. 

일단 조인트 마찰의 역학을 이해하면, 결과에 대한 확신이 더욱 높아지고 이 기능을 올바르게 사용하는 방법을 정확히 알 수 있습니다.

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